ΚΕΦΑΛΑΙΟ 46 • ΣΤ' ΔΗΜΟΤΙΚΟΥ

Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά

Μαθαίνουμε πότε δύο ποσά μεταβάλλονται αντίστροφα, γιατί το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει σταθερό, πώς διαβάζουμε τον πίνακα τιμών και γιατί η γραφική τους παράσταση είναι καμπύλη γραμμή (υπερβολή).

Θεωρία & Δυναμικός Έλεγχος Σταθερού Γινομένου

Δοκίμασε τις Ασκήσεις

Βασικές Έννοιες σε 4 Βήματα

Η μαθηματική ουσία των αντιστρόφως ανάλογων ποσών και η σύγκριση με τα ανάλογα.

ΒΗΜΑ 1Ορισμός

Τι είναι Αντιστρόφως Ανάλογα;

Δύο ποσά ονομάζονται αντιστρόφως ανάλογα όταν, καθώς πολλαπλασιάζεται η τιμή του ενός με έναν αριθμό, η αντίστοιχη τιμή του άλλου διαιρείται με τον ίδιο ακριβώς αριθμό (και αντίστροφα).

Παραδείγματα στην καθημερινότητα:

• Διπλάσιοι εργάτες ➔ Μισός χρόνος για το έργο.
• Τριπλάσια ταχύτητα ➔ Στο ένα τρίτο ο χρόνος ταξιδιού.
• Περισσότερες βρύσες ➔ Λιγότερα λεπτά για να γεμίσει η πισίνα.

💡 Προσοχή: Δεν αρκεί απλώς το ένα ποσό να ανεβαίνει και το άλλο να πέφτει. Πρέπει η μεταβολή να γίνεται με τον ίδιο ακριβώς συντελεστή!

ΒΗΜΑ 2Βασική Ιδιότητα

Σταθερό Γινόμενο (α)

Σε δύο αντιστρόφως ανάλογα ποσά, το γινόμενο των αντίστοιχων τιμών τους παραμένει πάντοτε σταθερό:

χ · ψ ＝ α (σταθερό)

Όπου χ η τιμή του πρώτου ποσού, ψ η τιμή του δεύτερου ποσού και α το σταθερό γινόμενο.

ψ ＝ α : χ

⚡ Μεγάλη διαφορά: Στα ανάλογα ποσά είναι σταθερό το πηλίκο (ψ : χ ＝ λ), ενώ στα αντιστρόφως ανάλογα είναι σταθερό το γινόμενο (χ · ψ ＝ α)!

ΒΗΜΑ 3Πίνακας Τιμών

Έλεγχος Πίνακα Τιμών

Για να ελέγξουμε αν ένας πίνακας περιέχει αντιστρόφως ανάλογα ποσά, πολλαπλασιάζουμε τα ζεύγη των αντίστοιχων τιμών:

Εργάτες (χ)124

Ημέρες (ψ)24126

Γινόμενα: 1 · 24 ＝ 2 · 12 ＝ 4 · 6 ＝ 24 (σταθερό α)

🎯 Αν ένα μόνο ζευγάρι δώσει διαφορετικό γινόμενο, τότε τα ποσά δεν είναι αντιστρόφως ανάλογα!

ΒΗΜΑ 4Διάγραμμα

Γραφική Παράσταση (Υπερβολή)

Σε σύστημα αξόνων, τα σημεία των αντιστρόφως ανάλογων ποσών δεν σχηματίζουν ευθεία γραμμή:

Η γραφική παράσταση είναι ΚΑΜΠΥΛΗ ΓΡΑΜΜΗ που ονομάζεται ΥΠΕΡΒΟΛΗ.

Η καμπύλη κατεβαίνει συνεχώς πλησιάζοντας τους άξονες, αλλά δεν περνά ποτέ από το (0, 0) και δεν ακουμπά ποτέ τους άξονες.

🚀 Το μηδέν αποκλείεται, επειδή κανένας αριθμός διαιρούμενος με το 0 δεν έχει νόημα στα Μαθηματικά!

🔬 ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 1

Δυναμικός Πίνακας: Εργάτες & Ημέρες (Σταθερό Έργο ＝ 48 Μεροκάματα)

Ένα έργο απαιτεί συνολικά 48 μεροκάματα. Αλλάξτε το πλήθος των εργατών και παρατηρήστε πώς μειώνονται οι ημέρες διατηρώντας το γινόμενο σταθερό.

ΑΡΙΘΜΟΣ ΕΡΓΑΤΩΝ (χ)4 εργάτες

Υπολογισμός ημερών: ψ ＝ 48 : 4 ＝ 12 ημέρες.

ΣΤΑΘΕΡΟ ΓΙΝΟΜΕΝΟ (α)

4 · 12 ＝ 48

Ο συνολικός όγκος εργασίας είναι 48 ανθρωποημέρες και δεν αλλάζει ποτέ.

ΠΙΝΑΚΑΣ ΤΙΜΩΝ ΜΕ ΣΤΑΘΕΡΑ ΓΙΝΟΜΕΝΑ (χ · ψ ＝ 48)

Εργάτες (χ)	1	2	3	4	6	8	12
Ημέρες (ψ)	48	24	16	12	8	6	4
Γινόμενο (χ · ψ)	48	48	48	48	48	48	48

ΒΑΣΙΚΟ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑ

Όταν οι εργάτες διπλασιάζονται (π.χ. από 2 σε 4), οι ημέρες υποδιπλασιάζονται (από 24 σε 12). Το γινόμενο παραμένει αμετάβλητο: 48.

📉 ΔΙΑΔΡΑΣΤΙΚΟ ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ 2

Η Γραφική Παράσταση είναι Υπερβολή (Καμπύλη)

Ταξίδι σταθερής απόστασης 240 km: Αλλάξτε την ταχύτητα και δείτε πώς η καμπύλη γραμμή αποτυπώνει τη μείωση του χρόνου ταξιδιού.

ΤΑΧΥΤΗΤΑ (km/h)60 km/h

ΧΡΟΝΟΣ ΤΑΞΙΔΙΟΥ (ΩΡΕΣ t)

4 ώρες

Σταθερή απόσταση: 240 km ➔ Τύπος: t ＝ 240 : 60.

📌 Σημείο καμπύλης: Συντεταγμένες: (60 km/h, 4 h). Όσο μεγαλώνει η ταχύτητα, τόσο πλησιάζει ο χρόνος το 0 χωρίς να φτάνει ποτέ εκεί.

ΓΡΑΦΙΚΗ ΠΑΡΑΣΤΑΣΗ: ΚΑΜΠΥΛΗ ΥΠΕΡΒΟΛΗ

Η καμπύλη ΔΕΝ περνά ποτέ από το (0, 0) και δεν ακουμπά τους άξονες!

Ώρα για Εξάσκηση στα Αντιστρόφως Ανάλογα Ποσά!

Δοκίμασε τις δυνάμεις σου σε 10 απαιτητικές ασκήσεις ελέγχου σταθερού γινομένου, συμπλήρωσης πινάκων τιμών και σύνθετων προβλημάτων χρόνου και εργασίας.

🎯 Έναρξη Ασκήσεων