Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ • ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Ισοδύναμα Κλάσματα

Μαθαίνουμε πότε δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα, πώς δημιουργούμε ίσα κλάσματα με διαστολή ή απλοποίηση και πώς τα ελέγχουμε ταχύτατα με τα χιαστί γινόμενα.

1Τι Είναι Ισοδύναμα Κλάσματα;

Ισοδύναμα (ή ίσα) ονομάζονται τα κλάσματα που εκφράζουν το ίδιο μέρος μιας ποσότητας ή αντιστοιχούν στον ίδιο ρητό αριθμό.

12＝24＝36＝48＝ 0,5

Αν και έχουν διαφορετικούς αριθμητές και παρονομαστές, η τιμή τους παραμένει απολύτως ίδια.

Η ΒΑΣΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΤΩΝ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
1. Διαστολή (Πολλαπλασιασμός)

Πολλαπλασιάζουμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό:

αβ ＝ α · κβ · κ (κ ≠ 0)
2. Απλοποίηση ή Συστολή (Διαίρεση)

Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με κοινό τους διαιρέτη:

αβ ＝ α ： κβ ： κ (κ ≠ 0)
Ανάγωγο Κλάσμα: Ένα κλάσμα λέγεται ανάγωγο όταν ο αριθμητής και ο παρονομαστής του δεν έχουν κανέναν κοινό διαιρέτη εκτός από το 1 (δηλαδή είναι πρώτοι μεταξύ τους, ΜΚΔ ＝ 1) και συνεπώς δεν μπορεί να απλοποιηθεί περαιτέρω.

2Διαδραστικό Εργαστήριο: Δημιουργία & Οπτικοποίηση Ισοδύναμου Κλάσματος

α ＝ 2
β ＝ 3
· 2
ΙΣΟΤΗΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝΑΡΧΙΚΟ ΑΝΑΓΩΓΟ
23＝2 · 23 · 2＝46
Σύγκριση ανά Ακέραια Μονάδα:66.7%
1η Ακέραια Μονάδα [0, 1]
Αρχικό (ανά 3):2 / 3
Ισοδύναμο (ανά 6):4 / 6
Παρατηρούμε ότι σε κάθε ακέραια μονάδα οι δύο ράβδοι καλύπτουν ακριβώς το ίδιο μήκος, άρα τα κλάσματα είναι ισοδύναμα!

3Το Κριτήριο των Χιαστί Γινομένων

Ο πιο γρήγορος τρόπος για να ελέγξουμε αν δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα είναι ο κανόνας των χιαστί γινομένων:

αβ＝γδ⟺α · δ ＝ β · γ
  • Αν τα χιαστί γινόμενα είναι ίσα, τα κλάσματα είναι ισοδύναμα.
  • Αν τα χιαστί γινόμενα είναι άνισα, τα κλάσματα δεν είναι ισοδύναμα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΕΛΕΓΧΟΥ
Ελέγχουμε τα κλάσματα 35 και 915:
1ο γινόμενο: 3 · 15 ＝ 45
2ο γινόμενο: 5 · 9 ＝ 45
Τα γινόμενα είναι ίσα (45 ＝ 45), άρα τα κλάσματα είναι ισοδύναμα!

🛠️ Εργαστήριο 2: Δοκιμαστήριο Χιαστί Γινομένων σε Πραγματικό Χρόνο

1ο ΚΛΑΣΜΑ (α/β)
3
4
2ο ΚΛΑΣΜΑ (γ/δ)
6
8
ΕΛΕΓΧΟΣ ΙΣΟΔΥΝΑΜΙΑΣΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ( ＝ )
34＝68
1ο Χιαστί (α · δ): 3 · 8 ＝24
2ο Χιαστί (β · γ): 4 · 6 ＝24
Επειδή τα γινόμενα είναι ίσα (24 ＝ 24), τα δύο κλάσματα είναι ισοδύναμα.