Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ • ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 • ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Η Έννοια των Ρητών Αριθμών

Γνωρίζουμε το σύνολο ℚ των ρητών αριθμών, τη σχέση τους με τα κλάσματα και τους δεκαδικούς, τις μετατροπές μεταξύ τους και την ακριβή τοποθέτησή τους στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

1Ορισμός Ρητού Αριθμού & Το Σύνολο ℚ

Ρητός ονομάζεται κάθε αριθμός που μπορεί να γραφεί στη μορφή κλάσματος αβ, όπου ο αριθμητής α είναι ακέραιος αριθμός (α ∈ ℤ) και ο παρονομαστής β είναι ακέραιος διάφορος του μηδενός (β ∈ ℤ*).

ℚ ＝ {αβ| α ∈ ℤ και β ∈ ℤ* }
  • Όλοι οι ακέραιοι είναι και ρητοί: π.χ. 5 ＝ 51, －4 ＝ 41, 0 ＝ 01.
  • Όλοι οι δεκαδικοί είναι ρητοί: π.χ. 0,75 ＝ 75100 ＝ 34.
  • Θέση προσήμου: Το πλην τοποθετείται συνήθως μπροστά από την κλασματική γραμμή: －αβ.
ΚΑΤΗΓΟΡΙΕΣ ΡΗΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ
Θετικοί Ρητοί
34, ＋2,5, ＋7
Αρνητικοί Ρητοί
52, －1,4, －9
Ακέραιοι Αριθμοί
... －2, －1, 0, 1, 2 ...
Περιοδικοί Δεκαδικοί
13 ＝ 0,333...

2Μετατροπή Κλάσματος σε Δεκαδική Μορφή

Για να μετατρέψουμε ένα κλάσμα αβ σε δεκαδικό αριθμό, διαιρούμε τον αριθμητή α με τον παρονομαστή β (α ： β).

ΔΥΟ ΠΙΘΑΝΑ ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑΤΑ
1. Πεπερασμένος Δεκαδικός: (υπόλοιπο 0)
34 ＝ 3 ： 4 ＝ 0,75
2. Περιοδικός Δεκαδικός: (επαναλαμβανόμενα ψηφία)
13 ＝ 1 ： 3 ＝ 0,333...
ΧΡΗΣΙΜΟ ΜΥΣΤΙΚΟ

Πότε ένα ανάγωγο κλάσμα δίνει πεπερασμένο δεκαδικό;

Αν απλοποιήσουμε το κλάσμα ώστε να είναι ανάγωγο, δίνει πεπερασμένο δεκαδικό μόνο αν ο παρονομαστής περιέχει ως πρώτους παράγοντες μόνο το 2 ή/και το 5.

• 720 → 20 ＝ 2² · 5 → Πεπερασμένος (0,35)
• 56 → 6 ＝ 2 · 3 → Περιοδικός (0,8333...)

🛠️ Εργαστήριο 1: Διαδραστική Μετατροπή Κλάσματος σε Δεκαδικό

α ＝ -3
β ＝ 4
ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΚΑΙ ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΜΟΡΦΗΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΟΣ
－34＝-0,75
Εκτελέσαμε τη διαίρεση 3 ： 4. Το αρνητικό πρόσημο τοποθετείται μπροστά από την κλασματική γραμμή.

3Μετατροπή Δεκαδικού σε Κλασματική Μορφή

Για να μετατρέψουμε έναν πεπερασμένο δεκαδικό αριθμό σε κλάσμα:

1. Αριθμητής: Γράφουμε όλον τον αριθμό χωρίς την υποδιαστολή.
2. Παρονομαστής: Γράφουμε το 1 ακολουθούμενο από τόσα μηδενικά όσα είναι τα δεκαδικά ψηφία (10, 100, 1.000...).
3. Πρόσημο: Το πρόσημο μείον τοποθετείται μπροστά από την κλασματική γραμμή.
4. Απλοποίηση: Διαιρούμε αριθμητή και παρονομαστή με τον ΜΚΔ τους για ανάγωγο κλάσμα.
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ ΑΝΑΛΥΣΗΣ
Δεκαδικός: －0,85 (2 δεκαδικά ψηφία)
Δεκαδικό κλάσμα: 85100
Απλοποίηση με το 5: 1720 (ανάγωγο)

🛠️ Εργαστήριο 2: Πληκτρολόγηση Δεκαδικού & Μετατροπή σε Ανάγωγο Κλάσμα

ΑΠΟΤΕΛΕΣΜΑ ΜΕΤΑΤΡΟΠΗΣ & ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗΣ
-0,75＝－75100＝－34
Ο αριθμός έχει 2 δεκαδικά ψηφία, άρα γράφτηκε με παρονομαστή το 100. Το πλην τοποθετείται μπροστά από την κλασματική γραμμή. Απλοποιήθηκε δια του ΜΚΔ (25) και έγινε ανάγωγο κλάσμα.

4Τοποθέτηση Ρητών Αριθμών στην Αριθμογραμμή

Για να παραστήσουμε έναν ρητό αριθμό αβ πάνω στην αριθμογραμμή:

1. Επιλογή κατεύθυνσης: Αν ο ρητός είναι θετικός κινούμαστε δεξιά από το 0, ενώ αν είναι αρνητικός κινούμαστε αριστερά από το 0.
2. Διαίρεση μονάδων (Παρονομαστής β): Χωρίζουμε κάθε ακέραια μονάδα σε β ίσα μέρη (υποδιαστήματα).
3. Μέτρηση βημάτων (Αριθμητής α): Ξεκινώντας από το 0, μετράμε |α| τέτοια υποδιαστήματα προς τη σωστή κατεύθυνση.
ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΟ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ

Πού βρίσκεται ο αριθμός 53;

Επειδή το κλάσμα είναι αρνητικό, πάμε αριστερά από το 0. Χωρίζουμε κάθε μονάδα σε 3 ίσα μέρη. Μετράμε 5 υποδιαστήματα αριστερά.

53 ＝ －1 23 ≈ －1,67 (βρίσκεται ανάμεσα στο －1 και το －2).

🛠️ Εργαστήριο 3: Διαδραστικός Αυτοπροσαρμοζόμενος Άξονας Ρητών

-7
4
ΣΗΜΕΙΟ:
Μ(－74)
ΔΕΚΑΔΙΚΗ ΤΙΜΗ & ΔΙΑΣΤΗΜΑ
≈ -1,75 ∈ [-2, -1]
-3-2-10123Μ
Ο άξονας προσαρμόστηκε αυτόματα στο διάστημα [-3, +3]. Κάθε μονάδα χωρίζεται σε 4 ίσα μέρη και το σημείο Μ απέχει 7 υποδιαιρέσεις αριστερά από το 0.Μ(－74)