Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ • ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Δυνάμεις Ακέραιων Αριθμών

Εξερευνούμε τη δύναμη με θετική και αρνητική βάση, τον ρόλο του άρτιου και περιττού εκθέτη, τη σημασία των παρενθέσεων και τις θεμελιώδεις ιδιότητες των δυνάμεων.

1Έννοια Δύναμης & Κανόνες Προσήμου

Δύναμη με βάση έναν ακέραιο αριθμό α και εκθέτη έναν φυσικό αριθμό ν > 1 είναι το γινόμενο ν ίσων παραγόντων:

α^ν ＝ α · α · α · ... · α (ν παράγοντες)

Το πρόσημο του αποτελέσματος εξαρτάται άμεσα από τη βάση και από το αν ο εκθέτης είναι άρτιος ή περιττός.

ΘΕΤΙΚΗ ΒΑΣΗ (ΠΑΝΤΑ ΘΕΤΙΚΟ)

Αν η βάση είναι θετική, η δύναμη είναι πάντοτε θετική, ανεξάρτητα από τον εκθέτη:

(＋3)² ＝＋9 | (＋2)³ ＝＋8

ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ΜΕ ΑΡΤΙΟ ΕΚΘΕΤΗ → ΘΕΤΙΚΟ (＋)

Τα αρνητικά πρόσημα είναι άρτιο πλήθος και ανά ζεύγη δίνουν συν:

(－2)⁴ ＝ (－2) · (－2) · (－2) · (－2) ＝ ＋16

ΑΡΝΗΤΙΚΗ ΒΑΣΗ ΜΕ ΠΕΡΙΤΤΟ ΕΚΘΕΤΗ → ΑΡΝΗΤΙΚΟ (－)

Τα αρνητικά πρόσημα είναι περιττό πλήθος και περισσεύει ένα πλην:

(－2)³ ＝ (－2) · (－2) · (－2) ＝－8

ΜΕΓΑΛΗ ΠΡΟΣΟΧΗ ΣΤΙΣ ΠΑΡΕΝΘΕΣΕΙΣ

Η Διαφορά μεταξύ (－α)^ν και －α^ν

(－3)² ＝＋9

Η παρένθεση δείχνει ότι ο εκθέτης 2 επηρεάζει και το πρόσημο μείον: (－3) · (－3) ＝＋9.

－3² ＝－9

Χωρίς παρένθεση, ο εκθέτης επηρεάζει μόνο το 3, ενώ το μείον παραμένει μπροστά: －(3 · 3) ＝－9.

2Διαδραστικό Εργαστήριο: Υπολογισμός & Ανάλυση Δύναμης

ΒΑΣΗ (α)

α ＝ -2

ΕΚΘΕΤΗΣ (ν)

ν ＝ 4

ΤΥΠΟΣ ΕΚΘΕΤΗ:

Άρτιος εκθέτης (ζυγός)

ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΣ ΜΕ ΠΑΡΕΝΘΕΣΗΘΕΤΙΚΟ (＋)

(-2)⁴ ＝＋16

ΑΝΑΠΤΥΓΜΑ ΓΙΝΟΜΕΝΟΥ:

(-2) · (-2) · (-2) · (-2)

Αντιπαράδειγμα χωρίς παρένθεση:－2⁴ ＝ -16

3Ιδιότητες των Δυνάμεων

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 1

Γινόμενο Δυνάμεων με την Ίδια Βάση

Διατηρούμε την ίδια βάση και προσθέτουμε τους εκθέτες:

α^μ · α^ν ＝ α^{μ ＋ ν}

(－2)² · (－2)³ ＝ (－2)⁵ ＝－32

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 2

Πηλίκο Δυνάμεων με την Ίδια Βάση

Διατηρούμε την ίδια βάση και αφαιρούμε τους εκθέτες (μ ≥ ν, α ≠ 0):

α^μ ： α^ν ＝ α^{μ － ν}

(＋3)⁵ ： (＋3)² ＝ (＋3)³ ＝＋27

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3

Δύναμη σε Δύναμη

Διατηρούμε τη βάση και πολλαπλασιάζουμε τους εκθέτες:

(α^μ)^ν ＝ α^{μ · ν}

[ (－2)² ]³ ＝ (－2)⁶ ＝＋64

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 4

Δύναμη Γινομένου

Υψώνουμε κάθε παράγοντα στον εκθέτη:

(α · β)^ν ＝ α^ν · β^ν

[ (－2) · (＋5) ]² ＝ (－2)² · (＋5)² ＝ 4 · 25 ＝ 100

α¹ ＝ α

Εκθέτης 1

α⁰ ＝ 1

Για α ≠ 0

(－1)^άρτιος ＝＋1

Άρτιο πλήθος

(－1)^{περιττός} ＝－1

Περιττό πλήθος