Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ • ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Πολλαπλασιασμός Ακέραιων Αριθμών

Μαθαίνουμε τον κανόνα των προσήμων για ομόσημους και ετερόσημους αριθμούς, τις βασικές ιδιότητες και πώς υπολογίζουμε το πρόσημο σε γινόμενα πολλών παραγόντων.

1Ο Κανόνας των Προσήμων (Γινόμενο Δύο Ακεραίων)

Για να πολλαπλασιάσουμε δύο ακέραιους αριθμούς, πολλαπλασιάζουμε τις απόλυτες τιμές τους και καθορίζουμε το πρόσημο σύμφωνα με τον παρακάτω κανόνα:

ΟΜΟΣΗΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (＋)
(＋) · (＋) ＝ ＋
(－) · (－) ＝ ＋

Το γινόμενο δύο ομόσημων αριθμών είναι πάντοτε θετικός αριθμός.

ΕΤΕΡΟΣΗΜΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ (－)
(＋) · (－) ＝ －
(－) · (＋) ＝ －

Το γινόμενο δύο ετερόσημων αριθμών είναι πάντοτε αρνητικός αριθμός.

ΧΑΡΑΚΤΗΡΙΣΤΙΚΑ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
(＋4) · (＋6) ＝ ＋24
(－4) · (－6) ＝ ＋24
(＋4) · (－6) ＝ －24
(－4) · (＋6) ＝ －24
Συνοπτικός Κανόνας: Ίδια πρόσημα δίνουν συν (＋), διαφορετικά πρόσημα δίνουν πλην (－).

🛠️ Διαδραστικό Εργαστήριο: Γινόμενο Δύο Ακεραίων

α ＝ -3
β ＝ ＋4
ΑΝΑΛΥΣΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥΕΤΕΡΟΣΗΜΟΙ (ΠΡΟΣΗΜΟ －)
(-3) · (＋4) ＝ -12
Οι αριθμοί έχουν διαφορετικά πρόσημα. Το γινόμενο είναι αρνητικό: －(3 · 4) ＝ －12.

2Ιδιότητες του Πολλαπλασιασμού

ΙΔΙΟΤΗΤΑ 1

Αντιμεταθετική

Η σειρά των παραγόντων δεν αλλάζει το γινόμενο:

α · β ＝ β · α
ΙΔΙΟΤΗΤΑ 2

Προσεταιριστική

Μπορούμε να ομαδοποιήσουμε ελεύθερα τους παράγοντες:

(α · β) · γ ＝ α · (β · γ)
ΙΔΙΟΤΗΤΑ 3

Ουδέτερο & Μηδενικό Στοιχείο

Το 1 διατηρεί τον αριθμό, ενώ το 0 μηδενίζει το γινόμενο:

α · 1 ＝ α
α · 0 ＝ 0
ΘΕΜΕΛΙΩΔΗΣ ΙΔΙΟΤΗΤΑ

Επιμεριστική Ιδιότητα ως προς την Πρόσθεση και την Αφαίρεση

Ο πολλαπλασιασμός ενός αριθμού με άθροισμα ή διαφορά επιμερίζεται σε κάθε όρο:

α · (β ＋ γ) ＝ α · β ＋ α · γ
α · (β － γ) ＝ α · β － α · γ

3Γινόμενο Πολλών Παραγόντων (Γενικό Συμπέρασμα)

Σε ένα γινόμενο πολλών μη μηδενικών παραγόντων, το τελικό πρόσημο καθορίζεται αποκλειστικά από το πλήθος των αρνητικών παραγόντων:

Άρτιο Πλήθος Αρνητικών → Πρόσημο Θετικό (＋)

Αν οι αρνητικοί παράγοντες είναι 0, 2, 4, 6... (άρτιο πλήθος), τα μείον ανά δύο γίνονται συν και το αποτέλεσμα είναι θετικό.

Περιττό Πλήθος Αρνητικών → Πρόσημο Αρνητικό (－)

Αν οι αρνητικοί παράγοντες είναι 1, 3, 5, 7... (περιττό πλήθος), περισσεύει ένα μείον και το αποτέλεσμα είναι αρνητικό.

ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΕΛΕΓΧΟΥ ΠΛΗΘΟΥΣ
(－2) · (＋3) · (－4) ＝ ＋24
Έχει 2 αρνητικούς (άρτιο πλήθος) → Θετικό (＋).
(－2) · (－3) · (－4) ＝ －24
Έχει 3 αρνητικούς (περιττό πλήθος) → Αρνητικό (－).
(－5) · (＋8) · 0 · (－9) ＝ 0
Περιέχει το 0 → Το γινόμενο μηδενίζεται άμεσα.

🛠️ Διαδραστικό Εργαστήριο: Γινόμενο Πολλών Παραγόντων

Πάτησε στο κουμπί «ΑΛΛΑΓΗ ΠΡΟΣΗΜΟΥ» κάτω από κάθε αριθμό για να δεις πώς αλλάζει το συνολικό πρόσημο:

1ΟΣ ΟΡΟΣ
-2
2ΟΣ ΟΡΟΣ
＋3
3ΟΣ ΟΡΟΣ
-1
4ΟΣ ΟΡΟΣ
-4
ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗ ΑΡΝΗΤΙΚΩΝ ΠΑΡΑΓΟΝΤΩΝ
Πλήθος Αρνητικών: 3 (Περιττό πλήθος → Αρνητικό)
ΑΡΝΗΤΙΚΟ (－)
(-2) · (＋3) · (-1) · (-4)
＝ -24