Α' ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ • ΘΕΩΡΙΑ & ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ

Ευκλείδεια Διαίρεση, Διαιρετότητα & Πρώτοι Αριθμοί

Μαθαίνουμε τη θεμελιώδη ταυτότητα της διαίρεσης, τους κανόνες διαιρετότητας για αριθμούς έως και 10 ψηφία και τη διάκριση πρώτων και σύνθετων αριθμών.

1Η Έννοια της Ευκλείδειας Διαίρεσης

Όταν έχουμε δύο φυσικούς αριθμούς Δ (Διαιρετέος) και δ (Διαιρέτης με δ ≠ 0), υπάρχουν δύο μοναδικοί φυσικοί αριθμοί π (πηλίκο) και υ (υπόλοιπο) τέτοιοι ώστε:

Δ ＝ δ · π ＋ υ
⚠️ Απαράβατος Περιορισμός Υπολοίπου: 0 ≤ υ ＜ δ
Το υπόλοιπο είναι πάντοτε φυσικός αριθμός και αυστηρά μικρότερο από τον διαιρέτη.

Τέλεια και Ατελής Διαίρεση

Τέλεια Διαίρεση (υ ＝ 0)

Όταν το υπόλοιπο είναι 0, ισχύει Δ ＝ δ · π. Ο δ διαιρεί ακριβώς τον Δ.

Ατελής Διαίρεση (υ ＞ 0)

Όταν περισσεύει μη μηδενικό υπόλοιπο, τότε Δ ＝ δ · π ＋ υ με υ ＜ δ.

🛠️ Διαδραστικό Εργαστήριο: Οπτική Αναπαράσταση Διαίρεσης

Δ ＝ 23
δ ＝ 5
Ταυτότητα Ευκλείδειας Διαίρεσης:
23 ＝ 5 · 4 ＋ 3
ΑΤΕΛΗΣ (υ ＝ 3 ＜ 5)
1η2η3η4ηυ
Σχηματίστηκαν 4 πλήρεις ισοπληθείς ομάδες των 5 στοιχείων και περίσσεψαν 3 στοιχεία.

2Διαιρετότητα & Κριτήρια Διαιρετότητας

Λέμε ότι ένας φυσικός αριθμός α διαιρείται από έναν φυσικό αριθμό β (β ≠ 0), όταν η διαίρεση α ： β είναι τέλεια (υ ＝ 0).

• Ο β ονομάζεται διαιρέτης του α.
• Ο α ονομάζεται πολλαπλάσιο του β.
• Συμβολισμός: α ＝ β · κ (όπου κ φυσικός αριθμός).

Χρήσιμες Ιδιότητες Διαιρετότητας

  • Το 1 είναι διαιρέτης κάθε φυσικού αριθμού (α ＝ α · 1).
  • Κάθε φυσικός αριθμός α ≠ 0 είναι διαιρέτης του εαυτού του (α ＝ 1 · α).
  • Το 0 είναι πολλαπλάσιο κάθε φυσικού αριθμού β ≠ 0 (0 ＝ 0 · β).
  • Αν ένας αριθμός διαιρεί δύο άλλους, διαιρεί και το άθροισμα και τη διαφορά τους.

Κανόνες (Κριτήρια) Διαιρετότητας

Διαίρεση με το 2
Λήγει σε άρτιο ψηφίο

Το τελευταίο ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6 ή 8.

Διαίρεση με το 3
Άθροισμα ψηφίων

Το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3.

Διαίρεση με το 4
Δύο τελευταία ψηφία

Τα 2 τελευταία ψηφία σχηματίζουν αριθμό που διαιρείται με το 4 (ή λήγει σε 00).

Διαίρεση με το 5
Λήγει σε 0 ή 5

Το τελευταίο του ψηφίο είναι αποκλειστικά 0 ή 5.

Διαίρεση με το 9
Άθροισμα ψηφίων

Το άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 9.

Διαίρεση με το 10 & 25
Τελικά ψηφία

Με το 10: λήγει σε 0. Με το 25: τα 2 τελευταία ψηφία είναι 00, 25, 50 ή 75.

🛠️ Διαδραστικός Έλεγχος Κριτηρίων Διαιρετότητας (έως 10 ψηφία)

3/10
Διαίρεση με το 2✅ ΝΑΙ

Το τελευταίο ψηφίο είναι 0 (άρτιο).

Διαίρεση με το 3✅ ΝΑΙ

Το άθροισμα των ψηφίων είναι 3 (διαιρείται με το 3).

Διαίρεση με το 4✅ ΝΑΙ

Τα δύο τελευταία ψηφία σχηματίζουν τον αριθμό 20 (διαιρείται με το 4).

Διαίρεση με το 5✅ ΝΑΙ

Το τελευταίο ψηφίο είναι 0 (λήγει σε 0 ή 5).

Διαίρεση με το 9❌ ΟΧΙ

Το άθροισμα των ψηφίων είναι 3 (δεν διαιρείται με το 9).

Διαίρεση με το 10✅ ΝΑΙ

Το τελευταίο ψηφίο είναι 0 (λήγει σε 0).

Διαίρεση με το 25❌ ΟΧΙ

Τα δύο τελευταία ψηφία είναι 20 (δεν λήγει σε 00, 25, 50 ή 75).

3Πρώτοι & Σύνθετοι Αριθμοί

Πρώτος Αριθμός

Ονομάζεται κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 που έχει ακριβώς δύο διαφορετικούς διαιρέτες: τη μονάδα (1) και τον εαυτό του.

Παραδείγματα: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31...
Σύνθετος Αριθμός

Ονομάζεται κάθε φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του 1 που έχει περισσότερους από δύο διαιρέτες.

Παραδείγματα: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20...

Σημαντικές Παρατηρήσεις

  • Ο αριθμός 1 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος, γιατί έχει μόνο έναν διαιρέτη (τον εαυτό του).
  • Ο αριθμός 0 δεν είναι ούτε πρώτος ούτε σύνθετος.
  • Ο αριθμός 2 είναι ο μικρότερος πρώτος αριθμός και ο μοναδικός άρτιος πρώτος. Όλοι οι άλλοι άρτιοι είναι σύνθετοι (διαιρούνται με το 2).
  • Κάθε σύνθετος φυσικός αριθμός μπορεί να αναλυθεί σε γινόμενο πρώτων παραγόντων κατά μοναδικό τρόπο.

🛠️ Διαδραστικό Εργαστήριο: Έλεγχος Πρώτου ή Σύνθετου Αριθμού

17
Χαρακτηρισμός
ΠΡΩΤΟΣ ΑΡΙΘΜΟΣ
Ο αριθμός 17 είναι Πρώτος
Έχει ακριβώς 2 διαιρέτες: το 1 και το 17.